Les nombres complexes

1. Description
- 1.1 Origine
- 1.2 Construction

1. Description :

1.1 Origines :

Ce sont les italiens qui les ont introduits, cela s’est passé au XVI^éme siècle. Comme ce n’est pas un cours d’histoire, je m’arrête là .

L’origine du problème, vient d’ une pauvre petite équation :

$x^{2}+1=0$

Les mathématiciens ont essayé de trouver une solution à cette équation.

$x^{2}=-1$

$x=\sqrt{-1}$

Youpi, on a trouvé, malheureusement si vous montrez ça à un prof de math, il va vous étriper , écarteler, égorger, brûler …. En gros lui il va ressembler à ca et vous

Vous avez commis un grave délit, vous avez écrit une racine d’un nombre négatif, les racine ne mange que des nombre positifs ou nuls. Comment faire pour trouver une solution à cette équation. Qu’à cela ne tienne, j’invente des nouveaux nombres.

1.2 Construction :

Soit un nombre $i=\sqrt{-1}$ , je construis plein d’autre nombre avec i ….,-2i,-i,0,i,2i,… , j’invente même $\pi i$ .Plus généralement j’invente des nombres construits sous la forme suivante:

$Un \,\, nombre \,\, r \acute{e}el \,\,\, \times \,\,\, i$

Vous me direz pourquoi ne pas noter $\sqrt{-1}$ à la place de i. Vous pensez sans doute que les mathématiciens sont des gros flemmards et que c’est bien moins long à écrire i que $\sqrt{-1}$ . En réalité il est tout autre. On écrit i pour éviter d’expliquer le souci suivant. Je vais appliquer les lois de la racine carré de deux façons différentes :

$x^{2}=\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = ( \sqrt{-1} )^{2}= -1$

$x^{2}=\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{-1^{2}} = 1$

Ouille on a $-1=1$ , c’est un sacré souci, comment on fait ? Tout simplement on ne peut pas s’en sortir, les règles appliquées à la racine carré dans $\mathbb{R}$ s’appliquent pas à i. Vous me direz c’est un peu normal sinon on aurait pas inventé les nombres complexes.

Finalement c’est au 18^éme siècle que Euler reforme l’écriture en posant: $\underline{i^{2} = -1}$ ,ainsi il n’y a plus de souci de racine carrée.

De même on note i pour impossible, imaginaire, impraticable, inapplicable, inconcevable, incroyable, inexécutable, insoluble, insupportable, insurmontable, intenable, intolérable, irréalisable…

Comme vous avez dû le remarquer les profs de math, ils n’aiment pas le bordel, pour eux chaque chose a une place. Le problème c’est que $i=\sqrt{-1}$ n’appartient pas aux nombres réels. Je vais inventer un nouvel ensemble pour ranger ces beaux petits nombres, on le notera $\mathbb{C}$ .

Petite question: Avec la définition que j’ai donné des nombre complexes est-ce que $\mathbb{C}$ comprend les nombre réels $\mathbb{R}$ ?

Réponse: Non, pour l’instant $\mathbb{C}\,\,$ n’est composé que des nombres sous la forme $\mathbb{R} \times \,\,$ i

Ahhhh , les mathématiciens ils aiment pas ça, il faut vite le ranger quelque part cette ensemble,vite rajoutons lui une partie réel comme ça on pourra l’attacher aux nombre réels.

On définit les nombres complexes de la manière suivante :

$Un \,\, nombre \,\, r \acute{e}elle + un\, autre\, nombre\, r \acute{e}elle\,\,\, \times \,\,\, i$