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Exercices Nombres Complexes

Exercice I: Simplification et Calcul

1- Simplifier les expressions :

  1. (2+i)+(7-3i)
  2. \cos(\frac{\pi}{3})+i \sin( \frac{\pi}{3}))^{3}
  3. (-1+i)^{3}
  4. (2-5i)\times(3+8i)\times(1+i)
  5. \frac{(2+i)^{2}+(2-i)^{2}}{(2+i)^{2}-(2-i)^{2}}
  6. (1+2i)^{4}
  1. 9-2i
  2. -1
  3. 2+2i
  4. 3-4i
  5. -\frac{3}{4}
  6. -7-24i

2- Mettre sous la forme algébrique a+ib:

  1. \frac{17}{4-i}
  2. \frac{1+i}{1-i}
  3. \frac{2-3i}{4-5i}
  4. \frac{1}{5-3i}-\frac{1}{5+3i}
  5. (\frac{4i^{11}-i}{1+2i})^{2}
  1. 4+i
  2. i
  3. \frac{23-2i}{41}
  4. \frac{3}{17}i
  5. 3+4i

3- Mettre sous la forme trigonométrique:

  1. 2+2i
  2. -1-i\sqrt{3}
  3. \sqrt{3}-i
  4. -\frac{5}{2}
  1. 2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4})
  2. 2(\cos(\frac{4\pi}{3})+i\sin(\frac{4\pi}{3})
  3. 2(\cos(\frac{11\pi}{6})+i\sin(\frac{11\pi}{6})
  4. \frac{5}{2}(\cos(\frac{3\pi}{2})+i\sin(\frac{3\pi}{2})

4- Mettre sous la forme algébrique a+ib:

  1. e^{i\pi}
  2. e^{\frac{i\pi}{2}}
  3. 5e^{\frac{i\pi}{4}}
  4. e^{7i\pi}
  5. e^{\frac{7i\pi}{2}}
  1. -1
  2. i
  3. \frac{5}{\sqrt{2}}(1+i)
  4. -1
  5. -i

Exercice II: Résolution d’équations complexes

1- Calculer z :

  1. (1+i)z=3-2i
  2. z^{2}-2z+5=0
  3. 2z^{2}-5z+1=0
  4. 2z^{2}-2(1+\cos(\theta))z+1+\cos(\theta)=0 ou \theta un réel fixé
  5. z^{4}+4z^{2}+3=0
  6. z + 2\bar{z}= 3- 2i
  1. z=\frac{1}{2}-i\frac{5}{2}
  2. z_{1}=1-2i \,\,,\,\, z_{2}=1+2i
  3. z_{1}=\frac{5}{4}-i\frac{\sqrt{17}}{4} \,\,,\,\, z_{2}=\frac{5}{4}+i\frac{\sqrt{17}}{4}
  4. z_{1}=\frac{1+\cos(\theta)}{2} \,\,,\, z_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\cos\theta-i\sin\theta) \,\,,\, z_{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\cos\theta+i\sin\theta)
  5. z_{1}=-i \,\,,\,\, z_{2}=i \,\,,\,\, z_{3}=i\sqrt{3} \,\,,\,\, z_{4}=-i\sqrt{3}
  6. z=1+2i
2- Determiner z :
Comment choisir z pour que z^{2}+5z-1 soit réel?
z=\frac{5}{2}+ib \,\,\,\,\,\,\, \forall b \in \mathbb{R}

3- Résolution d’équation:

  1. Résoudre dans l’ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l’équation:
    z^{2}+4z+16
  2. Pour tout nombre complexe z, on pose P(z)=z^{3}-64 l’équation P(z)=0

a) Calculer P(4)

b) Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z,

P(z)=(z-4)(az^{2}+bz+c

c)Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation P(z) = 0.

 

bientôt

4- Résolution d’équation:

Pour tout nombre complexe z, on définit : P(z)=z^{3}+2(\sqrt{2}-1)z^{2}+4(1-\sqrt{2})z-8

  1. Calculer P(2). Déterminer une factorisation de P(z) par ( z-2)
  2. Résoudre dans \mathbb{C} l’équation P(z)=0
bientôt

Exercice III:Géometrie complexe

1- Addition et Multiplication:

Soit 2 nombres complexes, z_{1}=1+i\,\,,\,\,z_{2}=\sqrt{3}+i

  1. Calculer z_{1}+z_{2}, z_{1} \times z_{2}
  2. Calculer l’argument et le module de z_{1},z_{2}, z_{1}+z_{2}, z_{1} \times z_{2}
Nombre Module Argument
z_{1}
z_{2}
z_{1}+ z_{2}
z_{1} \times z_{2}
  1. Que se passe t’il pour l’argument et le module lors de la multiplication
  2. Representer dans un répére orthonormé z_{1},z_{2}, z_{1}+z_{2}, z_{1} \times z_{2}
  3. Que se passe t’il pour l’addition de deux nombres complexes
  4. Simplifier i^{2012}
bientôt

2- Conjugué d’un nombre :
Soit un nombre complexe z=4-i

  1. Calculer \bar{z},z+\bar{z},z-\bar{z}
  2. Représenter sur graphique \bar{z},z+\bar{z},z-\bar{z}
  3. Que peut on déduire sur la partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe si z=\bar{z} ou si z=-\bar{z}
bientôt

Probléme I:Géometrie complexe

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O, u, v).
À tout point M du plan, distinct de A, d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’ défini par :
z'=\frac{z^{2}}{(1+i)-z}

  1. Déterminer les points M confondus avec leur image M’.
  2. Étant donné un complexe z distinct dez=1+i, on pose : z=x+iyet z=x'+iy' avec x, y, x’, y’ réels.
    1. Trouver x’ et y’ en fonction de x et y
    2. Donner l’ensemble E des points M dont l’image M’ est située sur l’axe des imaginaires purs.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct(O,\vec{u},\vec{v}). On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A,B et C les points d’affixes respectives 3-i,1-3i,-1-i

  1. Placer ces points sur une figure que l’on complétera au fur et à mesure.
    1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
    2. démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle G de centre O, dont on calculera le rayon.
  2. Soit M un point quelconque du plan d’affixe notée m et N le point d’affixe notée n, image de A dans la rotation r
    de centre M et d’angle de mesure \frac{\pi}{2}.

    1. Donner l’écriture complexe de la rotation r.
    2. En déduire l’expression de n en fonction de m.
    3. On appelle Q le milieu du segment [AN] et q son affixe. Montrer queq=1-i \frac{m}{2}+2+i.
    4. Dans cette question, M est un point du cercle G.
      • Justifier l’existence d’un réel q tel que m=\frac{10^{\frac{1}{2}}}{2 e^{iq}}.
      • Calculer \|q-2-i\| . Quel est le lieu G’ de Q lorsque M décrit le cercle G.
bientôt